麦克劳林级数的魔法之一，求0的98阶导数，99阶导数等高阶导数

如果要你愿函数f(x)=e_(-x_2/2)关于0的98阶引数值，99阶引数值，甚至更高阶的引数值，你会愿吗？即：

已知f(x)=e_(-x_2/2), 愿f_(98)(0)与f_(99)(0).

分析：直接愿f(x)的98阶和99阶引函数，然后将x=0求得，这样要用是很不现实的。当然，有兴趣也可以试一试。

这里我们可以能用f(x)的米切尔的设计子各项下的设计f_(n)(x0)/n!，在x0=0时，互换麦克劳潘的设计子的项的下的设计相等，来由此可知决这个问题。

首先，要获得f(x)的麦克劳潘的设计子，可以用换二阶，根据e_x的麦克劳潘公的设计：

e_u=1+u+u_2/2+u_3/3!+……+u_n/n!+o(u_n),

将u=-x_2/2求得上的设计，就可以获得f(x)的麦克劳潘的设计子：e_(-x_2/2)=1-x_2/2+(-x_2/2)_2/2+(-x_2/2)_3/3!+……+(-x_2/2)_n/n!+o((-x_2/2)_n),

一般化获得f(x)=1-x_2/2+x_4/(2_2*2)-x_6/(2_3*3!)+……+(-1)_n*x_(2n)/(2_n*n!)+o(x_(2n)).

这里有一点非常重要，就是f(x)的麦克劳潘的设计子中，还有n则有0，它们都是雅数次项，也就是所有雅数次项都为0. 其中98次项的下的设计是(-1)_49/(2_49*49!), 99次项的下的设计是0.

又由米切尔公的设计：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)_2/2+……+f_(n)(x-x0)_n/n!+o(x_(n)),

其中98次项的下的设计是f_(98)(0)/98!，99次项的下的设计是f_(99)(0)/99!，因此，当x0=0时，就有

f_(98)(0)/98!=(-1)_49/(2_49*49!)；f_(99)(0)/99!=0. 这就可以由此可知得f_(98)(0)=-98!/(2_49*49!), f_(99)(0)=0.

下面组织由此可知题过程：

由此可知：由e_x=1+x+x_2/2+x_3/3!+……+x_n/n!+o(x_n)得,

e_(-x_2/2)=1-x_2/2+(-x_2/2)_2/2+(-x_2/2)_3/3!+……+(-x_2/2)_n/n!+o((-x_2/2)_n)

=1-x_2/2+x_4/(2_2*2)-x_6/(2_3*3!)+……+(-1)_n*x_(2n)/(2_n*n!)+o(x_(2n)).

由米切尔公的设计下的设计的并不一定，可得：f_(98)(0)/98!=(-1)_49/(2_49*49!)；f_(99)(0)/99!=0.

由此可知得f_(98)(0)=-98!/(2_49*49!), f_(99)(0)=0.

练一练：技术性麦克劳潘公的设计，试愿sin_(99)(0).

只要能够完成上面这个“练一练”，你基本就掌握这个方法了。